Question

2．已知函数f（x）=log_a（a^x-1），其中a＞0，且a≠1．
（1）求证：函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）的图象上任意两个不同的点，且x₁＜x₂，求证：y₁＜y₂．

Answer 1

分析 （1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，a＞1时，函数f（x）的图象在y轴的右侧；当0＜a＜1时，x＜0，函数f（x）的图象在y轴的左侧．所以函数f（x）的图象在y轴的一侧．
（2）由于x₁＜x₂，y₁-y₂=${log}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{2}}-1}$，再分a＞1和0＜a＜1两种情况分别进行讨论，可证得结论．

解答 证明：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，
当a＞1时，x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数f（x）的图象在y轴的右侧；
当0＜a＜1时，x＜0，即函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数f（x）的图象在y轴的左侧．
所以函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）当x₁＜x₂时，y₁-y₂=${log}_{a}（{a}^{{x}_{1}}-1）$-${log}_{a}（{a}^{{x}_{2}}-1）$=${log}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{2}}-1}$
①当a＞1时，由（1）知0＜x₁＜x₂，
∴1＜a^x1＜a^x₂，
∴0＜a^x₁-1＜a^x₂-1，
∴0＜$\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{2}}-1}$＜1，
∴y₁-y₂＜0，
②当0＜a＜1时，由（1）知x₁＜x₂＜0，
∴a^x₁＞a^x₂＞1，
∴a^x₁-1＞a^x₂-1＞0，
∴$\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{2}}-1}$＞1，
∴y₁-y₂＜0，
综上可得：y₁＜y₂．

点评 本题考查对数函数的性质和综合应用，解题时注意分类讨论思想的合理应用．