Question

12．已知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$的定义域为（-1，1），
（1）证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（2）解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈（-1，1），并且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，证明f（x₁）＜f（x₂），从而得出f（x）在（-1，1）上是增函数；
（2）容易判断f（x）为奇函数，从而由f（2x-1）+f（x）＜0便可得到f（2x-1）＜f（-x），根据f（x）在（-1，1）上是增函数，便可得到$\left\{\begin{array}{l}{-1＜2x-1＜1}\\{-1＜-x＜1}\\{2x-1＜-x}\end{array}\right.$，解该不等式组便可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$
=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，$（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
（2）f（x）显然为奇函数；
∴由f（2x-1）+f（x）＜0得，f（2x-1）＜-f（x）；
∴f（2x-1）＜f（-x）；
由（1）知f（x）在（-1，1）上是增函数，则：
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜2x-1＜1}\\{-1＜-x＜1}\\{2x-1＜-x}\end{array}\right.$；
解得$0＜x＜\frac{1}{3}$；
∴原不等式的解集为$（0，\frac{1}{3}）$．

点评 考查增函数的定义，根据增函数定义证明一个函数为增函数的方法和过程，奇函数的定义，根据函数单调性解不等式的方法．