Question

4．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若底面ABCD为正方形，$PB=\sqrt{2}AB$，求二面角C-AF-D大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，推导出PB∥EO，由此能证明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）分别以$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AP}$的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AF-D的大小．

解答 证明：（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，
∵四边形ABCD为矩形，∴O是BD的中点，
∵点E是棱PD的中点，∴PB∥EO，
又PB?平面AEC，EO?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）由题可知AB，AD，AP两两垂直，
分别以$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AP}$的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系．
设由$PB=\sqrt{2}AB$可得AP=AB，
于是可令AP=AB=AD=2，则
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（1，1，1）
设平面CAF的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，1，0）$．由于$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow n=（2，2，0）•（x，1，0）=2x+2=0$，解得x=-1，所以$\overrightarrow n=（-1，1，0）$．
∵y轴?平面DAF，∴设平面DAF的一个法向量为$\overrightarrow m=（1，0，z）$．
∵$\overrightarrow{AF}=（1，1，1）$，∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow m=（1，1，1）•（1，0，z）=1+z=0$，解得z=-1，
∴$\overrightarrow m=（1，0，-1）$．
∴$|cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞|=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{1}{2}$．∴二面角C-AF-D的大小为60°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题．