Question

15．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，点F₁，F₂是椭圆E的左、右焦点，过F₁的直线与椭圆E交于A，B两点，且△F₂AB的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）动点M在椭圆E上，动点N在直线l：y=2$\sqrt{3}$上，若OM⊥ON，探究原点O到直 线MN的距离是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出方程组求出a、b的值，写出椭圆E的标准方程；
（2）①直线ON的斜率不存在，计算原点O到直线MN的距离d的值；②直线ON的斜率存在，设出直线OM、ON的方程，求出点M、N，计算|MN|²、|OM|²、|ON|²，求出原点O到直线MN的距离d，即可得出结论．

解答 解：（1）椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，且△F₂AB的周长为8，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}{-b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}}\\{4a=8}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，…（3分）
所以椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；…（4分）
（2）①若直线ON的斜率不存在，
则|OM|=2$\sqrt{3}$，|ON|=2，|MN|=4，
所以原点O到直线MN的距离为d=$\frac{|OM|•|ON|}{MN}$=$\sqrt{3}$；…（6分）
②若直线ON的斜率存在，
设直线OM方程为y=kx，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，解得x²=$\frac{12}{3+{4k}^{2}}$，
y²=$\frac{1{2k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$；…（7分）
则直线ON的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，代入y=2$\sqrt{3}$，
解得N（-2$\sqrt{3}$k，2$\sqrt{3}$）；…（8分）
所以|MN|²=|OM|²+|ON|²=（$\frac{12}{3+{4k}^{2}}$+$\frac{1{2k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$）+（12k²+12）=$\frac{4{8（1{+k}^{2}）}^{2}}{3+{4k}^{2}}$；
设原点O到直线MN的距离为d，
则|MN|•d=|OM|•|ON|，
得d²=$\frac{{|OM|}^{2}{•|ON|}^{2}}{{|MN|}^{2}}$=3，
所以d=$\sqrt{3}$；…（11分）
综上，原点O到直线MN的距离为定值$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，也考查了方程组与分类讨论思想的应用问题，是综合题．