Question

5．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{e}$是同一平面内的三个向量，且|$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=2，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$=1，当|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值时，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{e}$夹角的正切值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，分别以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为x、y轴建立平面直角坐标系，设$\overrightarrow{e}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，则$\overrightarrow{e}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{2}$-θ，θ为锐角；用数量积求出|$\overrightarrow{a}$|、|$\overrightarrow{b}$|的值，计算|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{e}$夹角的正切值即可．

解答 解：根据题意，分别以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为x、y轴建立平面直角坐标系，
设$\overrightarrow{e}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，则$\overrightarrow{e}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{2}$-θ，θ为锐角；
∵|$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=2，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$=1，
∴|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=2，|$\overrightarrow{b}$|•cos（$\frac{π}{2}$-θ）=|$\overrightarrow{b}$|•sinθ=1，
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2}{cosθ}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{sinθ}$；
∴${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^{2}$=${|\overrightarrow{a}|}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${|\overrightarrow{b}|}^{2}$
=$\frac{4}{{cos}^{2}θ}$+$\frac{1}{{sin}^{2}θ}$
=（$\frac{4}{{cos}^{2}θ}$+$\frac{1}{{sin}^{2}θ}$）（sin²θ+cos²θ）
=5+$\frac{{4sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$+$\frac{{cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}$≥5+2$\sqrt{\frac{{4sin}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}•\frac{{cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ}}$=9，
当且仅当2sin²θ=cos²θ，即tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时“=”成立；
此时|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值3，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{e}$夹角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积与基本不等式的应用问题，是中档题．