Question

10．某校数学兴趣小组在研究本地的城市道路与汽车保有量之间的关系（即某地区道路的总里程数和该地区拥有的汽车数量之间的关系）时，得到了近8年的城市道路总里程x（单位：百公里）和汽车保有量y（单位：百辆）的数据如下表：

数据编号	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
道路里程数x	120	130	140	150	160	170	180	190
汽车保有量y	144	154	160	168	176	180	186	190

（Ⅰ）若某年的两个值都不小于170时，我们将该年称为“出行便捷年”．现从这8年中任取5年，求恰有2年为“出行便捷年”的概率（请用分数作答）．
（Ⅱ）根据上表数据，用变量y和x的相关系数说明y与x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．
参考公式：相关系数$r=\frac{{\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}\sum_{i=1}^8{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}}$；回归直线的方程是：$\hat y=\hat bx+a$，
其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$a=\overline y-\hat b\overline x$，${\hat y_i}$是与x_i对应的回归估计值．
参考数据：$\overline x=155$，$\overline y=169.75$，$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=4200$，$\sum_{i=1}^8{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}=1827.5$，$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}=2750$，$\sqrt{4200}≈64.80$，$\sqrt{1827.5}≈42.75$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：从这8年中任取5年的所有情况总数为${C}_{8}^{5}$，早任取的5年中，恰有2年为“出行便捷年”的所有情况的总数为${C}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{2}$，恰有2年为“出行便捷年”的概率P（X）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{5}}$=$\frac{15}{28}$；
（Ⅱ）变量y和x的相关系数：r=$\frac{\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{8}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{2750}{\sqrt{4200}•\sqrt{1827.5}}$=$\frac{2750}{2770.469}$=0.99，两变量的线性相关性强，设线性回归方程为：$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+a，利用最小二乘法即可求得$\widehat{b}$$\widehat{b}$，由线性回归方程必过样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），则a=$\overline{y}$-0.65$\overline{x}$=69.00，即可求得y与x的线性回归方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：某年的两个值都在170或以上的所有的可能情况总数为：3，
从这8年中任取5年的所有情况总数为：${C}_{8}^{5}$，
早任取的5年中，恰有2年为“出行便捷年”的所有情况的总数为${C}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{2}$，
∴X表示恰有2年为“出行便捷年”的事件，
P（X）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{5}}$=$\frac{15}{28}$；
（Ⅱ）根据参考公式，变量y和x的相关系数：r=$\frac{\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{8}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{2750}{\sqrt{4200}•\sqrt{1827.5}}$=$\frac{2750}{2770.469}$=0.99，
即变量y和x的线性相关系数非常接近1，
∴两变量的线性相关性强，
设线性回归方程为：$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+a，
由$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$=$\frac{2750}{4200}$=0.65，
由道路里程数x的平均数$\overline{x}$=$\frac{120+130+140+150+160+170+180+190}{8}$=155，汽车保有量y的平均数$\overline{y}$=$\frac{144+154+160+168+176+180+186+190}{8}$=169.75，
由线性回归方程$a=\overline y-\hat b\overline x$过样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），a=$\overline{y}$-0.65$\overline{x}$=69.00，
∴线性回归方程：$\widehat{y}$=0.65x+69．

点评 本题考查古典概型概率公式，考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查计算能力，属于中档题．