Question

19．在平面直角坐标系xoy中，双曲线${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线与抛物线${C_2}：{y^2}=2px（{p＞0}）$交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 求出A的坐标，可得k_AH=$\frac{4{b}^{2}}{4ab-{a}^{2}}$，利用△OAB的垂心为C₂的焦点，可得$\frac{4{b}^{2}}{4ab-{a}^{2}}$×（-$\frac{b}{a}$）=-1，由此可求C₁的离心率．

解答 解：双曲线${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
与抛物线C₂：x²=2py联立，可得x=0或x=±$\frac{2pb}{a}$，
取A（$\frac{2pb}{a}$，$\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}$），设垂心H（$\frac{p}{2}$，0），
则k_AH=$\frac{4{b}^{2}}{4ab-{a}^{2}}$，
∵△OAB的垂心为C₂的焦点，
∴$\frac{4{b}^{2}}{4ab-{a}^{2}}$×（-$\frac{b}{a}$）=-1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．