Question

【题目】已知定义在区间上两个函数和，，，.

（1）求函数的最大值；

（2）若在区间单调，求实数的取值范围；

（3）当时，若对于任意，总存在，使恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）根据二次函数的图象和性质，先将函数f(x)的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[1，2]的位置关系，可求出函数y= f(x)的最大值m(a)；（2）对函数求导，分在区间单调递增或单调递减两种情况进行讨论，转化成或恒成立问题求解即可；（3）根据题意求出g(x)的最大值，然后使，注意对a进行分类讨论，然后建立关系式，分别解之即可求出a的范围．

（1），

则当时，，

当时，，

所以；

（2），依题意，

①在上恒成立，即在上恒成立，则；

②在上恒成立，即在上恒成立，则.

综上，实数的取值范围为或.

（3）依题意可得，，当时，由（2）知在上单调递减，则，由（1）得：

①当时，，解得，所以；

②当时，，解得，所以.

综上所述，.