Question

设f₁（x）=cosx，定义f_n+1（x）为f_n（x）的导数，即f_n+1（x）=f′_n（x）n∈N^*，若△ABC的内角A满足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=

1

3

，则sin2A的值是

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：由已知分别求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），可得从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环，结合f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=

1

3

求出cosA，进一步得到sinA，则答案可求．

解答： 解：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0．
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx．
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=

1

3

．
∴cosA=

1

3

．
∵A为三角形的内角，
∴sinA=

2 2

3

．
∴sin2A=2sinAcosA=

4 2

9

．
故答案为：

4 2

9

．

点评：本题考查了导数及其运算，关键是找到函数解析式规律性，是中档题．