Question

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为线段AD的中点．
（1）求直线MF与直线BD所成角的余弦值；
（2）若平面ABF与平面DBF所成角为θ，且tanθ=2

2

，求线段AB的长．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用平面ABCD⊥平面ADEF，证明MF⊥BD，即可得出结论．
（2）向量法：以F为原点，AF，FE所在直线分别为x轴和y轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出二面角A-BF-D中两个半平面的法向量，进而构造AB长的方程，解方程可得答案．

解答： 解：（1）由已知得△ADF为正三角形，所以MF⊥AD，
因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，MF?平面ADEF，
所以MF⊥BD，所以所成角的余弦值为0…（5分）
（2）设AB=x，以F为原点，AF，FE所在直线分别为x轴和y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则F（0，0，0），A（-2，0，0），D(-1，

3

，0)，B（-2，0，x），
所以

DF

=(-1，

3

，0)，

BF

=(2，0，-x)．
因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取

n

1=(0，1，0)．
设

n

2=(a，b，c)为平面DBF的法向量，则

2a-cx=0 a- 3 b=0

可取

n

2=(

3

，1，

2 3

x

)．
由tanθ=2

2

得cosθ=

1

3

，所以

| n 1• n 2|

| n 1|•| n 2|

=

1

3

得x=

2

5

15

所以AB=

2

5

15

…（12分）

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，二面角的平面角及求法．向量法的关键是构造空间坐标系，求出二面角A-BF-D中两个半平面的法向量．