Question

2．已知函数f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{e}$），且x₁＜x₂，则下列结论中正确的是（　　）

• A． （x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
• B． f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜f（$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$）
• C． x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）
• D． x₂f（x₂）＞x₁f（x₁）

Answer 1

分析 根据函数f（x）=lnx在区间（0，$\frac{1}{e}$）上是单调增函数得出（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，判断A错误；
根据函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象下凹，得出f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞f（$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$），判断B错误；
根据函数f（x）=lnx中[$\frac{f（x）}{x}$]′＞0，$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函数，得出$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$＞$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$，判断C正确，D错误．

解答 解：对于A，函数f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{e}$），且x₁＜x₂，
∴（x₁-x₂）＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，A错误；
对于B，函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象是下凹型的，
故有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞f（$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$），B错误；
对于C，函数f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，$\frac{1}{e}$），且x₁＜x₂，
∴[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{f′（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函数，
∴$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$＞$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$，
即x₁f（x₂）＞x₂f（x₁），C正确，D错误．
故选：C．

点评 本题考查了对数函数f（x）=lnx的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的应用问题，是综合性题目．