Question

18．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}-1$
• B． $2-\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $2-\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，作出椭圆的图象，分析可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆方程可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，①；结合椭圆的几何性质a²=b²+c²，②；联立两个式子，解可得c=（$\sqrt{3}$-1）a，由离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，如图，设F（c，0），
又由△OAF是等边三角形，则A（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），
A在椭圆上，则有$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，①；
a²=b²+c²，②；
联立①②，解可得c=（$\sqrt{3}$-1）a，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$-1；
故选：A．

点评 本题考查椭圆的几何性质，关键是结合题意，由等边三角形的性质表示出A的坐标．