Question

6．已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
（1）求a、b的值；
（2）化简函数f（x）的解析式；
（3）写出f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接由条件利用f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求得a、b的值．
（2）利用三角恒等变换，化简函数f（x）的解析式．
（3）根据正弦函数的值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（0）=2a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=2a•$\frac{1}{2}$+b•$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1．
（2）由（1）可得f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（3）根据f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），可得它的值域为[-1，1]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，属于基础题．