Question

17．设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），即 x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．
（3）f（1）=$\frac{3}{2}$，可得a=2，求出g（x）的解析式，令t=2^x-2^-x，由x≥1可得t≥$\frac{3}{2}$，可得函数y=t²-2t+2=（t-1）²+1，运用二次函数的单调性，可得所求最小值．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2．
（2）∵函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-$\frac{1}{a}$＜0，又 a＞0，
∴1＞a＞0．
由于y=a^x单调递减，y=a^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4）．
∴x²+tx＞x-4，即  x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．
（3）由f（1）=$\frac{3}{2}$得a=2，
则g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x），
令t=2^x-2^-x，由x≥1可得t≥$\frac{3}{2}$，
则函数y=t²-2t+2=（t-1）²+1，
且在[$\frac{3}{2}$，+∞）递增，
可得g（x）在[1，+∞）上的最小值为（$\frac{3}{2}$-1）²+1=$\frac{5}{4}$．

点评 本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查．对函数单调性和奇偶性的综合考查的一般出题形式是解不等式的题，解题方法是先利用奇偶性进行转化，再利用单调性解不等式．