Question

7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q分别是线段CC₁，BD上的点，R是直线AD上的点，满足PQ∥平面ABC₁D₁，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{42}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{30}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 分别以AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出|PR|的最小值．

解答 解：如图，分别以AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，1，0），B₁（1，0，1），C（1，1，0），
设P（1，1，m），（0≤m≤1），$\frac{\overrightarrow{BQ}}{\overrightarrow{BD}}$=λ（0≤λ≤1），Q（x₀，y₀，0），
则（x₀-1，y₀，0）=λ（-1，1，0），∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1-λ}\\{{y}_{0}=λ}\end{array}\right.$，∴Q（1-λ，λ，0），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（-λ，λ-1，-m），
连结B₁C，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BCC₁B₁是正方形，AB⊥平面BCC₁B₁，
∴B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，
又AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∵PQ∥平面ABC₁D₁，∴B₁C⊥PQ，
又$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，1，-1），∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{PQ}$=λ-1+m=0，∴λ=1-m，
∴Q（m，1-m，0），$\overrightarrow{PQ}$=（m-1，-m，-m），
设R（0，n，0），则$\overrightarrow{RQ}$=（m，1-m-n，0），
∵PQ⊥RQ，∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{RQ}$=m（m-1）-m（1-m-n）=0，即n=2-2m，
∴R（0，2-2m，0），$\overrightarrow{PR}$=（-1，1-2m，-m），
|$\overrightarrow{PR}$|=$\sqrt{1+（1-2m）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{5{{m}^{2}-4m+2}_{\;}}$=$\sqrt{5（m-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{6}{5}}$，
∴当m=$\frac{2}{5}$时，|PR|的最小值是$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．