Question

14．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m²）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．
（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；
（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．

Answer 1

分析 （1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；
（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．

解答 解：（1）设上底长为a，则S=$\frac{（a+a+\frac{2h}{tanα}）h}{2}=S$，
∴a=$\frac{S}{h}$-$\frac{h}{tanα}$，
∴l=$\frac{S}{h}$-$\frac{h}{tanα}$+$\frac{2h}{sinα}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$）；
（2）l′=h$•\frac{1-2cosα}{si{n}^{2}α}$，
∴0＜α＜$\frac{π}{3}$，l′＜0，$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$，l′＞0，
∴$α=\frac{π}{3}$时，l取得最小值$\frac{S}{h}$+$\sqrt{3}$hm．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，取得函数的模型是关键．