Question

直线y=kx+1与曲线y=lnx相切，则k的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：欲k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答： 解：∵y=lnx，
∴y′=f′（x）=

1

x

，
设切点为（m，lnm），得切线的斜率为k=f′（m）=

1

m

，
即曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：
y-lnm=

1

m

（x-m）．即y=

1

m

x+lnm-1，
∵直线y=kx+1与曲线y=lnx相切，
∴

1

m

=k，且lnm-1=1，
即lnm=2，则m=e²，
则k=

1

e2

．
故答案为：

1

e2

．

点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．设出切点坐标是解决本题的关键．