Question

【题目】在三棱锥P﹣ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．

（1）求证：DE∥平面PAC；

（2）求证：DE⊥AD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）利用中位线证得，根据线面平行的判定定理，可证得平面.（2）利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到，根据等腰三角形的性质得到，由此证得平面，进而证得.

证明：（1）因为D，E分别为PB，BC的中点，

所以DE∥PC，

又DE平面PAC，PC平面PAC，

故DE∥平面PAC．

（2）因为AP=AB，PD=DB，所以AD⊥PB，

因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，

又BC⊥AB，BC平面ABC，所以BC⊥平面PAB，

因为AD平面PAB，所以AD⊥BC，

又PB∩BC=B，PB，BC平面ABC，故AD⊥平面PBC，

因为DE平面PBC，所以DE⊥AD．