Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，-＜φ＜），其部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知横坐标分别为-1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求sin∠MNP的值．

Answer 1

解：（1）由图可知，最小正周期T=（3-1）×4=8，所以ω==．
又∵当x=1时，f（x）有最大值为1，
∴f（1）=sin（+φ）=1，得+φ=+2kπ，k∈Z
∵-＜φ＜，∴取k=0，得φ=．
所以函数的解析式为f（x）=sin（x+）．
（2）∵f（-1）=0，f（1）=1且f（5）=sin（×5+）=-1．
∴三点坐标分别为M（-1，0），N（1，1），P（5，-1），
由两点的距离公式，得|MN|=，|PN|=2，|MP|=，
∴根据余弦定理，得cos∠MNP==-．
∵∠MNP∈（0，π）
∴sin∠MNP是正数，得sin∠MNP==．
分析：（1）根据图象，可得函数的最小正周期T=8，结合周期公式得ω=．再根据f（1）=1是函数的最大值，列式可解出φ的值，得到函数f（x）的解析式；
（2）由（1）的解析式，得出M、N、P三点的坐标，结合两点的距离公式得到MN、PN、PM的长，用余弦定理算出cos∠MNP的值，最后用同角三角函数平方关系，可得sin∠MNP的值．
点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定确定其解析式，并求一个角的正弦．着重考查了三角函数的图象与性质、余弦定理和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．