Question

15．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域$\left\{\begin{array}{l}{x-2≤0}\\{x+y≥0}\\{x-3y+4≥0}\end{array}\right.$中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
区域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，
而R′Q′=RQ，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+4=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即Q（-1，1）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，即R（2，-2），
则|AB|=|QR|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（1+2）^{2}}$=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．