Question

7．已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=$\frac{2x-8}{x+1}$在（0，+∞）解的个数是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 确定f（x）是以4为周期的周期函数，关于直线x=1对称，作出相应函数的图象，即可得出结论．

解答 解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
∴f（x）是以4为周期的周期函数．
∵f（x+2）=-f（x）=f（-x），
∴函数关于直线x=1对称，
在（0，+∞）上函数y=f（x）与y=$\frac{2x-8}{x+1}$的图象如图所示，交点有4个，
∴方程f（x）=$\frac{2x-8}{x+1}$在（0，+∞）解的个数是4，
故选B．

点评 本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性，考查数形结合的数学思想，属于中档题．