Question

15．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）•cosx．
（1）若0≤x≤$\frac{π}{2}$，求函数f（x）的值域；
（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围即可求出函数f（x）的值域；
（2）由f（A）的值求出角A的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出cos（A-B）的值．

解答 解：（1）f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）•cosx
=（sinx+$\sqrt{3}$cosx）•cosx
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；…（2分）
由$0≤x≤\frac{π}{2}$得，$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，…（4分）
∴$0≤sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即函数f（x）的值域为$[0，\;1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$；…（6分）
（2）由$f（A）=sin（2A+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
得$sin（2A+\frac{π}{3}）=0$，
又由$0＜A＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
∴$2A+\frac{π}{3}=π$，解得$A=\frac{π}{3}$；…（8分）
在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=7，
解得$a=\sqrt{7}$；…（10分）
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（12分）
∵b＜a，∴B＜A，∴$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
=$\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{7}}}{7}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{21}}}{7}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．…（15分）

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．