Question

6．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin²B=sinAsinC．
（1）若a=$\sqrt{2}$b，求cosB；
（2）若B=60°，且a=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求b²=ac，又$a=\sqrt{2}b$，联立可得$c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}b$，利用余弦定理即可得解cosB的值．
（2）由（1）知b²=ac，利用已知及余弦定理，整理可得c=a=$\sqrt{2}$，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）sin²B=sinAsinC⇒b²=ac①，
又$a=\sqrt{2}b$②，
由①②知$c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}b$，…（3分）
所以$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{2{b^2}+\frac{1}{2}{b^2}-{b^2}}}{{2{b^2}}}=\frac{3}{4}$．…（6分）
（2）由（1）知：b²=ac③，
B=60°，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2ac×$\frac{1}{2}$=a²+c²-ac，④，
利用③④可得：a²+c²-ac=ac，即（a-c）²=0，可得：c=a=$\sqrt{2}$，…10分
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．