Question

己知四棱锥P-ABCD，其中底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，

M,N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示：

（1）求证： AN∥平面MBD；

（2）求锐二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）构造三角形，利用三角形的中位线证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；

（2）联立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．

解题思路:证明线面平行的一般思路：

①利用线面平行的判定定理进行证明，即：利用平行四边形、梯形、三角形的中位线构造线线平行；

②利用面面平行的性质，即构造面面平行．

试题解析：（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，

∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等份点，∴CM=CN，

∴OM//AN， ∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD

（2）易知为等腰直角三角形,所以BP为外接圆的直径,所以PB=,PA=3

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，

则A（0,0,0），B（3,0,0），C（3,6,0），D（0,6,0），P（0,0,3），M（2,4,1），N（1,2,2）,

设平面的法向量为,，并且,

，令得,

∴平面MBD的一个法向量为,

设平面法向量为,

同理可得

由图可知,二面角为锐角,

∴二面角的余弦值为

考点：1．线面平行的判定定理；2．二面角．

考点分析： 考点1：点、线、面之间的位置关系 考点2：异面直线所成的角 考点3：线面所成的角 试题属性

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