Question

已知圆C：x²＋(y－3)²＝4，一动直线l过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，

M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.

(1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；

(2) 当PQ＝2时，求直线l的方程；

(3) 探索·是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

Answer 1

 (1)  证明：∵ l与m垂直，且k_m＝－，

∴ k_l＝3.又k_AC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.

(2) 解：①当直线l与x轴垂直时， 易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2 ，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴ 直线l：4x－3y＋4＝0. 从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.

·＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由

综上，与直线l的斜率无关，且＝－5.

另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴ 四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.