Question

已知

a

=（m-2）

i

+2

j

，

b

=

i

+（m+1）

j

（其中

i

、

j

分别为x、y轴正方向的单位向量）
（1）若m=2，求

a

、

b

的夹角；
（2）若（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

），求实数m的值．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）当m=2时可得

a

=（0，2），

b

=（1，3），由夹角公式和反三角函数可得；
（2）由题意易得

a

+

b

=（m-1，m+3），

a

-

b

=（m-3，1-m），由垂直可得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，解m的方程可得．

解答： 解：（1）当m=2时，

a

=（0，2），

b

=（1，3），
设

a

、

b

的夹角为θ，
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

6

2 10

=

3 10

10

，
∴θ=arccos

3 10

10

；
（2）∵

a

=（m-2，2），

b

=（1，m+1），
∴

a

+

b

=（m-1，m+3），

a

-

b

=（m-3，1-m），
由（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）可得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，
代入数据可得（m-1）（m-3）+（m+3）（1-m）=0，
解得m=1

点评：本题考查平面向量的数量积和垂直关系，涉及向量的夹角和反三角函数，属基础题．