Question

己知命题p：函数f（x）=x²+ax-2 在[-1，1]内有且仅有一个零点，命题q：x²+3（a+1）x+2≤0在区间[

1

2

，

3

2

]内 恒成立，若命题“p且g”是假命题，实数q的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：先根据零点的概念，并结合二次函数f（x）图象，以及通过求导求函数在闭区间上最小值的方法即可求出命题p，q下的a的取值范围，根据p且q为假命题知p假或q假，这样求出p假，q假时的a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：命题p：△=a²+8＞0，∴f（x）和x轴有两个交点，则：

f(-1)=-a-1＜0 f(1)=a-1≥0

，或

f(-1)=-a-1≥0 f(1)=a-1＜0

；
解得a≥1，或a≤-1；
命题q：x²+3（a+1）x+2≤0在区间[

1

2

，

3

2

]内恒成立；
∴a≤

-x2-3x-2

3x

在区间[

1

2

，

3

2

]内恒成立；
令g（x）=

-x2-3x-2

3x

，g′（x）=

-3x2+6

9x2

；
令g′（x）=0，x=

2

，或-

2

（舍去）；
∴

1

2

≤a＜

2

时，g′（x）＞0，

2

＜x≤

3

2

时，g′（x）＜0；
∴g(

2

)是g（x）的极大值，又g（

1

2

）=-

5

2

，g(

3

2

)=-

35

18

，-

5

2

＜-

35

18

；
∴g（x）的最小值为-

5

2

；
∴a≤-

5

2

；
若命题“p且g”是假命题，则p假，或q假，则：
-1＜a＜1，或a＞-

5

2

；
∴a＞-

5

2

；
∴实数a的取值范围是（-

5

2

，+∞）．

点评：考查判别式的取值和二次函数图象和x轴交点的关系，在求命题p下a的取值范围时可结合二次函数f（x）的图象，以及通过求导来求函数在闭区间上的最小值的方法，p且q的真假和p，q真假的关系．