Question

18．设不等式|x-1|≤2与关于x的不等式x²-ax-b≤0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数$f（x）=a\sqrt{x}+b\sqrt{1-x}$的最大值，以及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，通过解绝对值不等式|x-1|≤2可求其解集，从而可知x²-ax-b=0的解，由韦达定理可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用柯西不等式，可求最值．

解答 解：（Ⅰ）∵|x-1|≤2，
∴-1≤x≤3．
∴不等式|x-1|≤2的解集为{x|-1≤x≤3}；
∵不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x²-ax-b≤0的解集相同，
∴-1和3是方程x²-ax-b=0的根，
∴a=-1+3=2，b=-（-1）×3=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2$\sqrt{x}$+3$\sqrt{1-x}$，
∴[f（x）]²=（2$\sqrt{x}$+3$\sqrt{1-x}$）²≤（2²+3²）[（$\sqrt{x}$）²+（$\sqrt{1-x}$）²]=13，
当且仅当$\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$，即x=$\frac{4}{13}$时取等号，
∴x=$\frac{4}{13}$时，函数的最大值为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，利用柯西不等式求函数的最值是难点，也是关键，考查分析、运算的能力，属于中档题．