Question

8．设二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则$\frac{1}{c}$+$\frac{9}{a}$的最小值为3；若ax²-4x+c＞0的解集为 （-1，2），则a-c=12．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质求出ac=4，根据基本不等式的性质求出$\frac{1}{c}$+$\frac{9}{a}$的最小值即可；（2）问题转化为-1，2是方程ax²-4x+c=0的解，求出a，c的值即可．

解答 解：∵二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4ac=0}\end{array}\right.$，
解得a＞0，c＞0，ac=4，
∴$\frac{1}{c}$+$\frac{9}{a}$≥2$\sqrt{\frac{9}{ac}}$=2$\sqrt{\frac{9}{4}}$=3，
若ax²-4x+c＞0的解集为 （-1，2），
则-1，2是方程ax²-4x+c=0的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=0}\\{4a-8+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴a-c=12，
故答案为：3，12．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题．