Question

20．体积为定值V的圆柱中，底面半径R与高h分别为何值时，圆柱表面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

分析 由题意V=πr²h，S_表=2πr²+2πrh，化简可得S_表2πr²+2πr•$\frac{V}{{πr}^{2}}$，利用基本不等式，即可求得结论．

解答 解：V=πr²h①，S_表=2πr²+2πrh②
由①可得h=$\frac{V}{{πr}^{2}}$，
代入②S_表=2πr²+2πr•$\frac{V}{{πr}^{2}}$=2πr²+$\frac{2V}{r}$．…（6分）
=2πr²+$\frac{V}{r}$+$\frac{V}{r}$≥3$\root{3}{2{πr}^{2}•\frac{V}{r}•\frac{V}{r}}$=3$\root{3}{2{πV}^{2}}$，
当且仅当2πr²=$\frac{V}{r}$，
即r=$\root{3}{\frac{V}{2π}}$，即h=$\root{3}{\frac{4V}{π}}$时，S_表最小值为3$\root{3}{2{πV}^{2}}$．…（10分）

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的应用，求得表面积是关键．