Question

设双曲线M：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，且双曲线M与圆x²+y²=c²相交于A，B，C，D四点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为正方形，则双曲线M的离心率等于（　　）

• A、2+

  2

• B、

  2+ 2

• C、

  2

  +1
• D、

  2

  +1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线方程和圆的方程联立，求出交点，再由正方形的概念可得有AB=AD，即AB²=AD²，再由离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：由双曲线的方程和圆x²+y²=c²联立，
可得x²=

c4-b4

c2

=

a2(2c2-a2)

c2

，y²=

b4

c2

=

(c2-a2)2

c2

，
由于以A（x，y），B（-x，y），C（-x，-y），D（x，-y）
为顶点的四边形为正方形ABCD，
则有AB=AD，即为AB²=AD²，
即有4x²=4y²，
即为a²（2c²-a²）=（c²-a²）²，
化简即有c⁴-4a²c²+2a⁴=0，
e⁴-4e²+2=0，
e²=2±

2

，
由于e＞1，则e=

2+ 2

．
故选B．

点评：本题考查双曲线方程和圆方程联立求交点的方法，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．