Question

已知函数f（x）=

lnx+k

ex

（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x²+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=

1 x -lnx-k

ex

，
依题意，∵曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′(1)=

1-k

e

=0，
∴k=1为所求．
（Ⅱ）k=1时，f′(x)=

1 x -lnx-1

ex

（x＞0）
记h（x）=

1

x

-lnx-1，函数只有一个零点1，且当x＞1时，h（x）＜0，当0＜x＜1时，h（x）＞0，
∴当x＞1时，f′（x）＜0，∴原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴原函数在（0，1）上为增函数．
∴函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．
（Ⅲ）证明：g（x）=（x²+x）f′（x）=

1+x

ex

（1-xlnx-x），先研究1-xlnx-x，再研究

1+x

ex

．
①记r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r′（x）=-lnx-2，令r′（x）=0，得x=e^-2，
当x∈（0，e^-2）时，r′（x）＞0，r（x）单增；
当x∈（e^-2，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单减．
∴r（x）_max=r（e^-2）=1+e^-2，即1-xlnx-x≤1+e^-2．
②记s（x）=

1+x

ex

，x＞0，
∴s′(x)=-

x

ex

＜0，∴s（x）在（0，+∞）单减，
∴s（x）＜s（0）=1，即

1+x

ex

＜1．
综①、②知，g（x））=

1+x

ex

（1-xlnx-x）≤（

1+x

ex

）（1+e^-2）＜1+e^-2．