Question

在△ABC中，点O满足

BO

=2

OC

，过O点的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，若

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，则mn的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：如图所示，

BO

=

BA

+

AO

，

OC

=

OA

+

AC

，利用

BO

=2

OC

，可得

AO

=

1

3

m

AM

+

2

3

n

AN

．由于O、M、N三点共线，利用共线定理可得

1

3

m+

2n

3

=1，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：如图所示，

BO

=

BA

+

AO

，

OC

=

OA

+

AC

，
∵

BO

=2

OC

，
∴-

AB

+

AO

=2(

AC

-

AO

)，
化为

AO

=

1

3

m

AM

+

2

3

n

AN

，
∵O、M、N三点共线，
∴

1

3

m+

2n

3

=1，化为m+2n=3．
只考虑m，n＞0的情况，3=m+2n≥2

2mn

，化为mn≤

9

8

，当且仅当m=2n=

3

2

时取等号．
故答案为：

9

8

．

点评：本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．