Question

已知椭圆C₁和抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从它们每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	5	- 2	4	2 2	6 2
y	2 5	0	-4	3 2	- 1 2

（Ⅰ）求C₁和C₂的方程；
（Ⅱ）过点S（0，-

1

3

）且斜率为k的动直线l交椭圆C₁于A、B两点，在y轴上是否存在定点D，使以线段AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），由题意知C₂：y²=4x．设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），把点（-

2

，0），（

6

2

，-

1

2

）代入得

x2

a2

+

y2

b2

=1，可得C₁的方程．
（Ⅱ）设动直线l的方程为：y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-

3

4

-

16

9

=0，由此利用韦达定理结合已知条件能推导出在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C₁的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），
抛物线C₂的方程为：y²=2px（p≠0），
从已知中所给四点的坐标可得：点（-

2

，0）一定在椭圆上，
∴（4，-4），（5，2

5

）点一定在抛物线上，
∴2p=4，即抛物线C₂的方程为：y²=4x，
则（

6

2

，-

1

2

）也在椭圆上，
故

2 a2 =1 6 4 a2 + 1 4 b2 =1

，
解得：

a2=2 b2=1

，
故椭圆C₁的方程为：

x2

2

+y2=1，
（Ⅱ）设动直线l的方程为：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-

3

4

-

16

9

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x₁x₂=-

16

9(2k2+1)

，
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，
则

MA

=（x₁，y₁-m），

MB

=（x₂，y₂-m），

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）
=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=x₁x₂+（kx₁-

1

3

）（kx₂-

1

3

）-m（kx₁-

1

3

+kx₂-

1

3

）+m² 
=（k²+1）x₁x₂-k（

1

3

+m）（x₁+x₂）+m²+

2

3

m+

1

9

=-

16(k2+1)

9(2k2+1)

-k（

1

3

+m）•

4k

3(2k2+1)

+m²+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

，
由假设得对于任意的k∈R，

MA

•

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0 9m2+m-15=0

，
解得m=1．
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．