Question

11．已知函数f（x）=a+（bx-1）e^x，（a，b∈R）
（1）如曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，求a，b的值；
（2）若a＜1，b=2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=x，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（0）=1}\end{array}\right.$，求出a，b的值即可；
（2）构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）=be^x+（bx-1）e^x=（bx+b-1）e^x，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（0）=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=0}\\{b-1=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（2）当b=2时，f（x）=a+（2x-1）e^x，（a＜1），
关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，
等价于关于x的不等式a+（2x-1）e^x-ax＜0的整数解有且只有1个，
构造函数F（x）=a+（2x-1）e^x-ax，x∈R，
故F′（x）=e^x（2x+1）-a，
1°x≥0时，∵e^x≥1，2x+1≥1，故e^x（2x+1）≥1，
又a＜1，故F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）递增，
∵F（0）=-1+a＜0，F（1）=e＞0，
∴在[0，+∞）存在唯一整数x₀，使得F（x₀）＜0，即f（x₀）＜ax₀；
2°当x＜0时，为满足题意，函数F（x）在（-∞，0）上不存在整数使得F（x）＜0，
即F（x）在（-∞，-1]上不存在整数使得F（x）＜0，
∵x≤-1，∴e^x（2x+1）＜0，
①当0≤a＜1时，函数F′（x）＜0，∴F（x）在（-∞，-1]递减，
∴$\frac{3}{2e}$≤a＜1；
②当a＜0时，F（--1）=-$\frac{3}{e}$+2a＜0，不合题意，
综上，a的范围是[$\frac{3}{2e}$，1）．

点评 本题考查导数的几何意义，导数的研究函数中的应用以及不等式问题，意在考查转化和化归思想，数形结合思想以及学生的运算能力．