Question

13．已知函数f（x）=6x-x⁶，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，求曲线在点P处的切线方程；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x₁，x₂且x₁＜x₂，求证：x₂-x₁≤6${\;}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（Ⅱ）设出P点的坐标，求出坐标，代入切线方程即可；
（Ⅲ）设$g（x）=-30（x-\root{5}{6}）$，令F（x）=f（x）-g（x），设方程g（x）=a的根为${x_2}^'$，设方程h（x）=a的根为${{x}_{1}}^{′}$，根据函数的单调性求出x₂-x₁≤${{x}_{2}}^{′}$-${{x}_{1}}^{′}$，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：f′（x）=6（1-x⁵） 由f′（x）=0得：x=1
又 当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=1时f（x）取得极大值，极大值为f（1）=5，无极小值．…（3分）
（Ⅱ）设P（x₀，0），则${x_0}=\root{5}{6}$，f'（x₀）=-30，
曲线f（x）在点P处的切线方程为：$y=f'（{x_0}）（{x-{x_0}}）=-30（x-\root{5}{6}）$，
即 曲线在点P处的切线方程为：$y=-30（x-\root{5}{6}）$…（6分）
（Ⅲ）设$g（x）=-30（x-\root{5}{6}）$，令F（x）=f（x）-g（x）
即$F（x）=f（x）+30（x-\root{5}{6}）$，则F'（x）=f'（x）+30
由于f′（x）=6-6x⁵在R 单调递减，故F′（x）在R 单调递减，又∵F′（x₀）=0，$（{x_0}=\root{5}{6}）$
∴当x∈（-∞，x₀）时F'（x）＞0，当x∈（x₀，+∞）时，F′（x）＜0，
∴F（x） 在（-∞，x₀）单调递增，在（x₀，+∞）单调递减，
∴?x∈R，F（x）≤F（x₀）=0，即?x∈R，都有f（x）≤g（x）；
设方程g（x）=a的根为${x_2}^'$，∴${{x}_{2}}^{′}$=${6}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{30}$．
∵g（x）在R 单调递减，且g（x₂）≥f（x₂）=a=g（${{x}_{2}}^{′}$）
∴x₂＜${{x}_{2}}^{′}$，
设曲线y=f（x） 在点原点处的切线方程为：y=h（x），则易得h（x）=6x，
?x∈R，有f（x）-h（x）=-x⁶≤0，即f（x）≤h（x），
设方程h（x）=a的根为${{x}_{1}}^{′}$，则${{x}_{1}}^{′}$=$\frac{a}{6}$，
∵h（x）在R 单调递增，且h（${{x}_{1}}^{′}$）=a=f（x₁）≤h（x₁），
∴${{x}_{1}}^{′}$≤x₁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴x₂-x₁≤${{x}_{2}}^{′}$-${{x}_{1}}^{′}$=（${a}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{30}$）-$\frac{a}{6}$=${a}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{5}$，
即x₂-x₁≤${a}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{5}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查曲线的切线方程问题，是一道综合题．