Question

如图，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=。现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D—AC—B为直二面角。
（Ⅰ）求二面角A—BD—C平面角的余弦值。
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积；

Answer 1

如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F。易知AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2。又DE⊥AC，AC=面ACD∩面ABC，二面角D—AC—B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，又因为BF平面ABC，所以DE⊥BF。故DE、AC、BF两两垂直。如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系.
则各点的如下A（0,－4,0），B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0,－3,2).      （3分）
(1) =(0,1,2)，=（2,4,0）,=(－2,1,0)，=(0,－4,2)
设平面ABD的法向量为=(x,y,1),则，
即=(4,－2,1)
设平面BCD的法向量为=(1,b,c),则
即=（1,2,4）
Cos<,>==.   
由图形知二面角A—BD—C平面角的余弦值为－.           （8分）
(2)设O为AC的中点，∵⊿ABC与⊿ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴Ｏ为四面体ＡＢＣＤ的外接球的球心．
∴四面体ＡＢＣＤ的体积               

略