[题目]已知定义在上的奇函数满足.且时.甲.乙.丙.丁四位同学有下列结论:甲:,乙:函数在上是增函数,丙:函数关于直线对称,丁:若.则关于的方程在上所有根之和为其中正确的是( )．A. 甲.乙.丁 B. 乙.丙 C. 甲.乙.丙 D. 甲.丁题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知定义在上的奇函数满足，且时，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：

甲：；

乙：函数在上是增函数；

丙：函数关于直线对称；

丁：若，则关于的方程在上所有根之和为其中正确的是（）．

A. 甲，乙，丁 B. 乙，丙 C. 甲，乙，丙 D. 甲，丁

【答案】D

【解析】∵，是定义在上的奇函数，

∴，关于直线对称，

根据题意，画出的简图，如图所示：

甲：，故甲同学结论正确；

乙：函数在区间上是减函数，故乙同学结论错误；

丙：函数关于中心对称，故丙同学结论错误；

丁：若由图可知，关于的方程在上有个根，

设为，，，，

则，，

∴，

所以丁同学结论正确．

∴甲、乙、丙、丁四位同学结论正确的是甲、丁，

故选．

点睛:本题考查函数的性质应用以及函数的零点问题,属于中档题目.根据已知函数为奇函数以及函数的周期,可得关于直线对称，结合时，画出函数的图象,进而可得函数的单调性,对称性,特殊值以及y=m与y=f(x)的交点情况, 即关于的方程在上所有根之和.

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