Question

5．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，已知点A（0，-2）与椭圆右顶点关于直线y=-x对称，且直线AF的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）若点C，D（C在第一象限）都在椭圆Γ上，点B为椭圆Γ的右顶点，满足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{DB}$，且$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=0，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由对称和直线的斜率公式，推导出a=2，c=$\sqrt{3}$，由此能求出椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，直线DB方程为y=k（x-2），分别代入椭圆方程x²+4y²=4，由$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=0，求出k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再由$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{DB}$，能求出实数λ的值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F（c，0），右顶点为（a，0），
由点A（0，-2）与椭圆右顶点关于直线y=-x对称，可得
$\frac{2}{a}$=1，解得a=2，
由直线AF的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得$\frac{2}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得c=$\sqrt{3}$，
即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，
代入椭圆方程x²+4y²=4，
得（1+4k²）x²=4，∴x_C=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴C（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
又直线DB方程为y=k（x-2），代入椭圆方程x²+4y²=4，
得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，
∵x_B=2，∴x_D=$\frac{2（4{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=0，
∴$\frac{2（4{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$+$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=0，
∴k²=$\frac{1}{2}$，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
$\overrightarrow{DB}$=（2-$\frac{2（4{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，0-$\frac{-4k}{1+4{k}^{2}}$）=（$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），
由$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{DB}$，得λ=$\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$，
∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴λ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量共线定理和坐标表示，解题时要认真审题，仔细运算，注意推理论证能力的培养．