Question

13．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=8x焦点相同，离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|$\overrightarrow{MP}$|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，由离心率公式可得a=4，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，求得向量MP的坐标，再由模的公式，及二次函数的最值的求法，可得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线y²=8x焦点为（2，0），得c=2，
由$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=4，
则b²=a²-c²=12，所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；
（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，故-4≤x≤4．
因为$\overrightarrow{MP}=（x-m，y）$，
所以$|\overrightarrow{MP}{|^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+12（1-\frac{x^2}{16}）$
=$\frac{x^2}{4}-2mx+{m^2}+12=\frac{1}{4}{（x-4m）^2}+12-3{m^2}$
因为当$|\overrightarrow{MP}|$最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x=4m时，$|\overrightarrow{MP}{|^2}$取得最小值，
而-4≤x≤4，故有4m≥4，解得m≥1，
又点M在椭圆C的长轴上，即-4≤m≤4，
故实数m的取值范围为1≤m≤4．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和椭圆的离心率公式，考查向量的模的公式和二次函数的思想，考查运算能力，属于中档题．