Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项b_n=$\frac{4}{{（a}_{n}-1）{（a}_{n+1}-1）}$，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由（n+1）a_n-na_n+1=1，可得：（n+2）a_n+1-（n+1）a_n+2=1，
两式相减，得2（n+1）a_n+1=（n+1）（a_n+2+a_n），
即2a_n+1=a_n+2+a_n，
所以数列{a_n}是等差数列．
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{2{a}_{1}-{a}_{2}=1}\end{array}\right.$，解得a₂=5，
∴公差d=a₂-a₁=2．
故a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（Ⅱ）{b_n}=$\frac{4}{{（a}_{n}-1）{（a}_{n+1}-1）}$=$\frac{4}{2n×（2n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
∵T_n≤k（n+4）恒成立，
∴k≥$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{n}{{n}^{2}+5n+4}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{4}{n}}+5}$=$\frac{1}{9}$，
当且仅当n=2时等号成立，
故实数k的取值范围为$[\frac{1}{9}，+∞）$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．