Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF₂||AF₂|的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 4
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 由椭圆的性质可得：当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值．由椭圆的定义可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a，再利用基本不等式的性质即可得出．|

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得a=2，b²=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
∴左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值为2×$\frac{3}{2}$=3．
由椭圆的定义可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a=8，则|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|≤8-3=5，
∴5≥$2\sqrt{|B{F}_{2}||A{F}_{2}|}$，可得|BF₂||AF₂|≤$\frac{25}{4}$，当且仅当|BF₂|=|AF₂|=$\frac{5}{2}$时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．