Question

（本题满分14分）已知函数其中a>0,且a≠1，
（1）求函数的定义域；
（2）当0＜a＜1时，解关于x的不等式；
（3）当a＞1，且x∈[0，1)时，总有恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

（1）函数f(x)的定义域为；（2）；（3）m≤0。

解析试题分析：（1）由真数大于零，可得函数的定义域.
（2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)，因为0<a<1,则对数函数是减函数，
所以.
(3) a＞1且x∈[0，1）时恒成立.
然后研究真数的取值范围，再结合对数函数的单调性可求出的最小值，让m小于等于其最小值即可.
（1）函数f(x)的定义域为………3分
（2）由f(x)≥0得2log_a(x+1)≥log_a(1-x)
∵0＜a＜1 ∴……………………………………（8分）
（3）由题意知：a＞1且x∈[0，1）时恒成立.……（9分）
设，令t=1-x，t∈（0,1],∴……（10分）
设  
,
∴u(t)的最小值为1……………………………（12分）
又∵a＞1，的最小值为0…………………（13分）
∴m的取值范围是m≤0…………………………………（14分）
考点：对数函数的定义域，解对数不等式，对数函数的性质，不等式恒成立，对数函数的最值.
点评：对数的真数大于零，就是求函数的定义域的依据之一；
利用对数函数的单调性求解不等式转化为真数的大小关系；
不等式恒成立问题，在参数与变量分离的情况下可转化为函数的最值问题来解.