Question

14．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，AD丄DC，AD=DC，E、F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，且DF=1．
（I）若AE丄CF，求BE的值；  
（Ⅱ）求当BE为何值时，二面角E-AC-F的大小是60°．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，设BD∩AC=G．由已知证得△BAD≌△BCD，得AG=CG，再由线面垂直的判定证明AC⊥平面EBDF，以G为坐标原点，分别以$\overrightarrow{GB}、\overrightarrow{GC}$的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系G-xyz，设出BE，结合$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}=0$求得BE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EGF是二面角E-AC-F的平面角，然后利用余弦定理求得使二面角E-AC-F的大小是60°时的BE．

解答 解：（Ⅰ）连结BD，设BD∩AC=G．
由已知得△BAD≌△BCD，∴AG=CG，
∴G为AC的中点，则BD⊥AC，BE⊥AC，且BD∩BE=B，
∴AC⊥平面EBDF，

如图，以G为坐标原点，分别以$\overrightarrow{GB}、\overrightarrow{GC}$的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系G-xyz，
令BE=x，由已知可得B（$\sqrt{3}$，0，0），A（0，-1，0），E（$\sqrt{3}$，0，x），F（-1，0，1），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{3}，1，x）$，$\overrightarrow{CF}=（-1，-1，1）$，
由$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}=0$得，x=1+$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EGF是二面角E-AC-F的平面角，即∠EGF=60°，
则$EG=\sqrt{{x}^{2}+3}$，FG=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5+2\sqrt{3}}$，
∴cos∠EGF=$\frac{E{G}^{2}+F{G}^{2}-E{F}^{2}}{2EG•GF}=\frac{1}{2}$，解得$x=2\sqrt{3}+3$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，考查空间向量在求解空间几何体中的应用，是中档题．