Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），
（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在x=

1

2

处的切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=2^x-2，若存在x₁∈（0，+∞），对于任意x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求a的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，代入计算，即可求曲线y=f（x）在x=

1

2

处的切线的斜率；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）分别求出函数的最大值，建立不等式，即可求a的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，∴f′(x)=

ax+1

x

（x＞0）
若a=-1，k=f′(

1

2

)=-1+2=1
（Ⅱ）当a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为增函数
当a＜0，令f^′（x）＞0，∴0＜x＜-

1

a

，f^′（x）＜0，∴x＞-

1

a

，
综上：a≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，-

1

a

），单调减区间为（-

1

a

，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，符合题意；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，-

1

a

），单调减区间为（-

1

a

，+∞）
∴f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)
由题意知，只需满足f（x）_max≥g（x）_max=g（1）=0，∴-1+ln(-

1

a

)≥0，
∴-

1

e

≤a＜0
综上：a≥-

1

e

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．