Question

方程7x²-（k+3）x+k²-k-2=0有两个实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，则实数k的取值范围是（　　）

• A、（-2，-1）
• B、（3，4）
• C、（-2，4）
• D、（-2，-1）∪（3，4）

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：计算题,综合题,转化思想

分析：构造辅助函数f（x）=7x²-（k+3）x+k²-k-2，由0＜x₁＜1＜x₂＜2得到关于k的不等式组，求解不等式组得答案．

解答： 解：∵方程7x²-（k+3）x+k²-k-2=0有两个实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
令f（x）=7x²-（k+3）x+k²-k-2，
则

f(0)=k2-k-2＞0 f(1)=7-(k+3)+k2-k-2＜0 f(2)=7×4-2(k+3)+k2-k-2＞0

，解得：-2＜k＜-1或3＜k＜4．
∴实数k的取值范围是（-2，-1）∪（3，4）．
故选：D．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了不等式组的解法，训练了运用“三个二次”的结合求解问题的方法，是中档题．