Question

已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R，都有f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)，且当x∈（0，1）时，f（x）=3^x-1，则f（log₃24）的值为（　　）

• A、

  1

  8

• B、

  9

  8

• C、

  1

  3

• D、

  4

  3

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意得f（x）为周期为3的周期函数，设-1＜x＜0，据函数的奇偶性及x∈（0，1）时的解析式求出当-1＜x＜0时，f（x）的解析式，求出答案即可．

解答： 解：∵f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)，令x=

3

2

+x，
∴f（x+3）=f（-x），
∵函数f（x）是偶函数
∴f（x+3）=f（x），
∴f（x）为周期为3的周期函数，
设-1＜x＜0，则0＜-x＜1
∵当x∈（0，1）时，f（x）=3^x-1
∴f（-x）=3^-x-1
∵函数f（x）是偶函数
∴f（x）=3^-x-1，
∵2＜log₃24＜3，
∴2-3＜log₃24-3＜3-3，
∴-1＜log3

24

27

＜0．
∴f（log₃24）=f（log3

24

27

）=

27

24

-1=

1

8

．
故选：A．

点评：本题主要考查了抽象的函数的问题，函数的奇偶性和周期性，关键是求出f（x）的解析式，属于中档题．