Question

     已知数列的各项均为正整数，且，

设集合。

性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。

性质2 若记，且对于任意，，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。

性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；

（Ⅰ）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

（Ⅱ）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。

（Ⅲ）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。

Answer 1

解：（Ⅰ）；                 

为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列；       

（Ⅱ）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有

，即

，其中，

必有，

所以仅存在唯一一组（）使成立，

即数列为阶完备数列；                                    

，对，，则，因为，则，所以，即                      

（Ⅲ）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（Ⅱ）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为

，。 

下面用数学归纳法证明

显然时命题成立，假设当（时命题成立，即

当时，只需证

由于对称性只写出了元素正的部分，其中

既中正的部分的个元素统一为，其中

则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，

中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示

其中

中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，

所以当时命题成立。

即{}为阶完美数列，