Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，数列{b_n}满足条件b₁=2，f（b_n+1）=$\frac{1}{f（-3-{b}_{n}）}$，（n∈N^*），若c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由当n=1，a₁=2，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，可知a_n=2a_n-1，数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）f（b_n+1）=$\frac{1}{f（-3-{b}_{n}）}$，（n∈N^*），代入即可求得b_n+1=b_n+3，b₁=f（-1）=2，数列{b_n}是以2为首项，3为公差的等差数列，c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”即可求得，数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）当n=1，a₁=2a₁-2，即a₁=2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ，
数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ∵）f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，f（b_n+1）=$\frac{1}{f（-3-{b}_{n}）}$，（n∈N^*），
∴$（\frac{1}{2}）^{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{-3-{b}_{n}}}$，
∴$\frac{1}{{2}^{{b}_{n+1}}}$=$\frac{1}{{2}^{3+{b}_{n}}}$，即b_n+1=b_n+3，
∴b_n+1-b_n=3，
b₁=f（-1）=2，
∴数列{b_n}是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴b_n=3n-1，
c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{8}{{2}^{3}}$+…+$\frac{3n-4}{{2}^{n-1}}$+$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{8}{{2}^{4}}$+…+$\frac{3n-4}{{2}^{n}}$+$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{3}{{2}^{n}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
=1+$\frac{3}{2}$×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
=1+$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2+3（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
=2+3•$\frac{3}{{2}^{n-1}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=5•$\frac{3n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列通项公式，考查数列与函数的综合应用，“裂项法”求数列的前n项和，考查函数的运算，考查计算能力，转化思想，属于中档题．