Question

9．甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为$\frac{1}{3}$，乙胜的概率为$\frac{2}{3}$，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的分布列和均值．

Answer 1

分析 由题意知X的所有可能取值为3，4，5，计算对应的概率值，
写出X的分布列，计算数学期望（均值）．

解答 解：由题意知，X的所有可能取值是3，4，5；
则P（X=3）=${C}_{3}^{3}$×${（\frac{1}{3}）}^{3}$+${C}_{3}^{3}$×${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$+${C}_{3}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{27}$，
P（X=5）=${C}_{4}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$×$\frac{1}{3}$+${C}_{4}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$；
∴X的分布列为：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

数学期望（均值）为E（X）=3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{10}{27}$+5×$\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

点评 本题考查 了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是综合题．